בגרות חורף 2025 – פירמידה משולשת ונפחיםוקטורים 572 · שיעור 44
חורף 2025, שאלה 2
בגרות חורף 2025 – פירמידה משולשת ונפחים
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 572 – וקטורים
1נוסח השאלה
2סעיף א – AE מאונך ל־BC
3סעיף ב – שיעורי C ו־S
4סעיף ג (1) – הישר FM
5סעיף ג (2) – הנקודה M
6סעיף ד – יחס הנפחים
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BC.
נסמן: AE = u , EC = v.
נתון: |u + v| = |u − v|.
א. הוכיחו כי AE מאונך ל־BC.
נתון: הקטע SE הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 20.
📄 נוסח השאלה · המשך
A(0 , 0 , 0) , B(6 , 8 , 0).
הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, ושיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.
ב. מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־S.
הנקודה F נמצאת על המקצוע SC כך ש־SF = 14SC.
דרך הנקודה F מעבירים ישר המקביל לישר AC, וחותך את המישור ABS בנקודה M.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. (1) מצאו הצגה פרמטרית של הישר FM.
(2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה MABC מנפח הפירמידה FAEC. נמקו את תשובתכם.
סעיף א – AE מאונך ל־BC
נעלה את שני האגפים בריבוע:
|u + v|2 = |u − v|2
📐 ריבוע וקטור
נפתח כל צד:
|u + v|2 = u2 + 2u · v + v2
|u − v|2 = u2 − 2u · v + v2
נציב את שתי הפתיחות בשוויון:
📐 ריבוע וקטור
a · a = |a|2
סעיף א – AE מאונך ל־BC · המשך
נציב את שתי הפתיחות בשוויון:
u2 + 2u · v + v2 = u2 − 2u · v + v2
4u · v = 0
u · v = 0
📐 וקטורים מאונכים
BC = 2v (E אמצע BC), ולכן AE ⊥ BC.
✅ פתרון סופי: הוכח: AE ⊥ BC
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ב – שיעורי C ו־S
במשולש ABC הקטע AE הוא תיכון וגם גובה, ולכן המשולש שווה שוקיים: AC = AB.
AB = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2
📐 מרחק בין שתי נקודות
נציב A(0 , 0 , 0) , B(6 , 8 , 0):
AB = √(6 − 0)2 + (8 − 0)2 = 10
C על החלק החיובי של ציר ה־x , ו־AC = AB = 10:
C(10 , 0 , 0)
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
סעיף ב – שיעורי C ו־S · המשך
C(10 , 0 , 0)
E אמצע BC:
E = (xB + xC2 , yB + yC2 , zB + zC2)
נציב B(6 , 8 , 0) , C(10 , 0 , 0):
E = (6 + 102 , 8 + 02 , 0 + 02)
E = (8 , 4 , 0)
סעיף ב – שיעורי C ו־S · המשך
E = (8 , 4 , 0)
הבסיס במישור z = 0, והגובה SE מאונך לו, ולכן S נמצא ישר מעל E, בגובה 20:
S(8 , 4 , 20)
✅ פתרון סופי: C(10 , 0 , 0) , S(8 , 4 , 20)
סעיף ג (1) – הישר FM
SC = C − S
נציב C(10 , 0 , 0) , S(8 , 4 , 20):
SC = (10 − 8 , 0 − 4 , 0 − 20)
SC = (2 , −4 , −20)
F = S + 14SC
📐 נקודה בעזרת וקטור
נציב S(8 , 4 , 20) , SC = (2 , −4 , −20):
📐 נקודה בעזרת וקטור
P = S + SP
סעיף ג (1) – הישר FM · המשך
נציב S(8 , 4 , 20) , SC = (2 , −4 , −20):
F = (8 , 4 , 20) + 14 · (2 , −4 , −20)
F = (8 , 4 , 20) + (0.5 , −1 , −5)
F(8.5 , 3 , 15)
הישר מקביל ל־AC = (10 , 0 , 0), ונוכל לקחת וקטור כיוון (1 , 0 , 0):
x = F + t · (1 , 0 , 0)
סעיף ג (1) – הישר FM · המשך
x = F + t · (1 , 0 , 0)
נציב F(8.5 , 3 , 15):
x = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)
✅ פתרון סופי: x = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)
סעיף ג (2) – הנקודה M
מישור ABS: נחפש נורמל (a , b , c) המאונך ל־AB ול־AS:
(a , b , c) · AB = 0
📐 וקטורים מאונכים
(a , b , c) · AS = 0
נציב AB = B − A = (6 , 8 , 0) , AS = S − A = (8 , 4 , 20):
(a , b , c) · (6 , 8 , 0) = 0
6a + 8b = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ג (2) – הנקודה M · המשך
6a + 8b = 0
(a , b , c) · (8 , 4 , 20) = 0
8a + 4b + 20c = 0
מהראשונה b = −3a4 . ניקח a = 4 (כדי לקבל מספרים שלמים), ואז b = −3 . במשוואה השנייה:
8a + 4b + 20c = 0
נציב a = 4 , b = −3:
סעיף ג (2) – הנקודה M · המשך
נציב a = 4 , b = −3:
8 · 4 + 4 · (−3) + 20c = 0
32 − 12 + 20c = 0
כלומר c = −1:
ax + by + cz + d = 0
📐 משוואת מישור
נציב (a , b , c) = (4 , −3 , −1):
📐 משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
(a , b , c) – וקטור נורמל
(a , b , c) – וקטור נורמל
סעיף ג (2) – הנקודה M · המשך
נציב (a , b , c) = (4 , −3 , −1):
4x + (−3)y + (−1)z + d = 0
המישור עובר דרך A:
4x − 3y − z + d = 0
נציב A(0 , 0 , 0):
4 · 0 − 3 · 0 − 0 + d = 0
סעיף ג (2) – הנקודה M · המשך
4 · 0 − 3 · 0 − 0 + d = 0
d = 0
4x − 3y − z = 0
הנקודה M על הישר FM ובמישור:
4x − 3y − z = 0
נציב x = 8.5 + t , y = 3 , z = 15:
סעיף ג (2) – הנקודה M · המשך
נציב x = 8.5 + t , y = 3 , z = 15:
4(8.5 + t) − 3 · 3 − 15 = 0
34 + 4t − 24 = 0 ⟸ t = −2.5
M = (8.5 + t , 3 , 15)
נציב t = −2.5:
M = (8.5 + (−2.5) , 3 , 15)
סעיף ג (2) – הנקודה M · המשך
M = (8.5 + (−2.5) , 3 , 15)
M = (6 , 3 , 15)
✅ פתרון סופי: M(6 , 3 , 15)
סעיף ד – יחס הנפחים
שתי הפירמידות עם בסיס במישור z = 0 (בסיס ABC):
• MABC: בסיס ABC, גובה = שיעור ה־z של M = 15.
• FAEC: בסיס AEC, גובה = שיעור ה־z של F = 15.
E אמצע BC, ולכן התיכון AE מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:
SAEC = 12SABC
VMABCVFAEC = 13 · SABC · hM13 · SAEC · hF
📐 נפח פירמידה
📐 נפח פירמידה
V = 13 · S · h
S – שטח הבסיס, h – הגובה
S – שטח הבסיס, h – הגובה
סעיף ד – יחס הנפחים · המשך
VMABCVFAEC = 13 · SABC · hM13 · SAEC · hF
📐 נפח פירמידה
נציב hM = hF = 15 , SAEC = 12SABC:
VMABCVFAEC = 13 · SABC · 1513 · 12SABC · 15 = 2
הסרטוט בקנה מידה (FM בסגול):
✅ פתרון סופי: פי 2
📐 נפח פירמידה
V = 13 · S · h
S – שטח הבסיס, h – הגובה
S – שטח הבסיס, h – הגובה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכחה
סעיף ב
C(10 , 0 , 0)
S(8 , 4 , 20)
S(8 , 4 , 20)
סעיף ג (1)
(8.5 , 3 , 15)
+ t(1 , 0 , 0)
+ t(1 , 0 , 0)
סעיף ג (2)
M(6 , 3 , 15)
סעיף ד
פי 2
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא